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Etude des singularités de la fonction "valeur à canard" de certaines équations différentielles complexes singulièrement perturbées
Pavis d'Escurac, Philippe (1988-....)
Résumé
Les canards ont été découverts au début des années 1980 par É. Benoît, F. et M. Diener et J.-L. Callot lors de l’étude de la fameuse équation de van der Pol.
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Étant donnée une équation différentielle réelle singulièrement perturbée par un petit paramètre ɛ, une solution canard – si elle existe – a la particularité de longer partiellement ou en totalité la partie répulsive d’une courbe lente pour une certaine valeur du paramètre de contrôle a, appelée valeur à canard. Une généralisation aux EDO complexes a ensuite donné lieu aux solutions surstables, bornées dans tout un voisinage d'un point tournant où la courbe lente présente une inversion de stabilité. Il est connu que dans le plan complexe, les valeurs à canard admettent un même développement asymptotique Gevrey d’ordre 1 noté â(ɛ), si bien que la transformée de Borel A(t) de cette série â(ɛ) est analytique au voisinage de l’origine. En utilisant la récente théorie des développements asymptotiques combinés due à A. Fruchard et R. Schäfke, nous étudions la première singularité de A(t) dans le cas de deux EDO : une équation de Riccati et l’équation de van der Pol. Pour ces deux équations, la série â(ɛ) est Borel-sommable dans toutes les directions du plan complexe excepté l’axe des réels positifs qui constitue une ligne de Stokes. Nous obtenons d’abord une estimation de la différence des valeurs à canard de part et d’autre de cette ligne que nous traduisons ensuite dans le plan de Borel. Pour l’équation de Riccati, cette estimation contient un terme exponentiellement petit et un développement asymptotique Gevrey. Ainsi, la transformée de Borel A(t) admet en 1/3 une singularité ramifiée, isolée sur le premier feuillet..Canards were discovered in the early 80s by É. Benoît, F. and M. Diener and J.-L. Callot while studying the famous van der Pol equation. Given a real differential equation, singularly perturbed by epsilon small, a canard solution – if it exists – has the particularity to follow partially or totally a slow curve from its attractive part to its repulsive part for a certain value of the control parameter a, named a canard value. A generalization to complex ODEs leads to overstable solutions, bounded in a neighborhood of a turning point, i.e. a point where the slow curve presents an inversion of stability. It is known that canard values admit a unique asymptotic expansion of Gevrey order one denoted by â, so that the Borel transform A(t) of â(epsilon) is analytic near the origin. Using the recent theory of composite asymptotic expansions due to A. Fruchard and R. Schäfke, we study the first singularity of this Borel transform A(t). We focus on two differential equations: a Riccati equation and the van der Pol equation. For these two equations, the formal series â(epsilon) is Borel summable in every direction except the real positive axis which constitutes a Stokes line. We first obtain an estimate of the difference of the canard values on each side of this line and then translate the result in the Borel plane. For the Riccati equation, this estimate contains an exponentially small term and a Gevrey asymptotic expansion. Thus the Borel transform A(t) has in 1/3 a ramified singularity, isolated on the first sheet.