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Cohomologie, déformations et opérateurs de Reynolds généralisés sur les algèbres n-Hom-Lie colorées et les systèmes triples de Lie
Résumé
L’objectif de cette thèse est d’étudier les algèbres n-Hom-Lie colorées ainsi que les opérateurs de Reynolds généralisés sur des systèmes triples de Lie munis de représentations (paire L.t.sRep). L’étude concerne leurs structures, leurs cohomologies et leurs déformations. En premier lieu, on s’intéresse aux algèbres n-Hom-Lie colorées.
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D’abord, on fournit une cohomologie de ces algèbres, notamment une cohomologie régissant les déformations formelles à un paramètre. Ensuite, on étudie les déformations formelles des algèbres n-Hom-Lie colorées, ainsi que les opérateurs de Nijenhuis sur une algèbre n-Hom-Lie colorée, qui pourraient donner lieu à des déformations infinitésimalement triviales. En outre, en relation avec ces opérateurs, on introduit la notion de structure produit sur les algèbres n-Hom-Lie colorées. En deuxième lieu, on introduit la notion d’opérateur de Reynolds généralisé sur les systèmes triples de Lie et on construit une L∞-algèbre dont les éléments de Maurer-Cartan sont des opérateurs de Reynolds généralisés. Ceci nous permet de définir la cohomologie de Yamaguti d’un opérateur de Reynolds généralisé. Ensuite, on étudie les déformations des opérateurs de Reynolds généralisés du point de vue cohomologique en déterminant la classe d’obstruction d’une déformation extensible d’ordre n. En dernier Lieu, on introduit la structure de Nijenhuis. Cette dernière est liée à l’opérateur de Reynolds généralisé et on montre que toute algèbre NS-Lie est un système triple de NS-Lie..The aim of this thesis is to study n-Hom-Lie color algebras and generalized Reynolds operators on Lie triple systems with representations (Abbr. L.t.sRep pairs). The study concerns their structures, cohomology and deformations. Firstly, we provide a cohomology of n-Hom-Lie color algebras governing one parameter formal deformations. Then, we study formal deformations of a n-Hom-Lie color algebra and introduce the notion of Nijenhuis operator on an n-Hom-Lie color algebra, which could give rise to infinitesimally trivial (n-1)-order deformations. Furthermore, in connection with Nijenhuis operators we introduce and discuss the notion of a product structure on n-Hom-Lie color algebras. Secondly, we introduce the notion of generalized Reynolds operators on L.t.sRep pairs as generalization of weighted Reynolds operators on Lie triple systems. We construct an L∞-algebra whose Maurer-Cartan elements are generalized Reynolds operators. This allows us to define a Yamaguti cohomology of a generalized Reynolds operator. This cohomology can be seen as the Yamaguti cohomology of a certain Lie triple system with coefficients in a suitable representation. Then, we study deformations of generalized Reynolds operators from cohomological points of view and we investigate the obstruction class of an extendable deformation of order n. We end by introducing a new algebraic structure, in connection with generalized Reynolds operator, called NS-Lie triple system. Moreover, we show that NS-Lie triple systems can be derived from NS-Lie algebras.