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Classification et déformations des algèbres ternaires
Résumé
L'objectif de ce travail de thèse est d'étudier certaines structures d'algèbres ternaires qui sont des applications linéaires de V®V®V dans V et qui apparaissent dans divers domaines des mathématiques et de la physique, ainsi qu'en l'informatique.
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En effet, en physique théorique, les progrès de la mécanique quantique et la découverte de la mécanique de Nambu, ainsi que les travaux de S-Okubo ont donn'e l'impulsion à un développement important dans la th'eorie des algèbres ternaires. Les matrices cubiques introduites par Cayley en 1840, puis redécouverte et généralisée par Kapranov, Gelfand et Zelevinskii en 1990 illustrent également les algèbres ternaires, ou encore l'algèbre des nonions de Sylvester qui est un analogue des quaternions de Hamilton. Dans ce travail de thèse, on distingue deux grandes classes d'algèbres ternaires, les algèbres ternaires de type associatif et les algèbres ternaires de type Lie. Dans un premier temps on a donné des généralités et des propriétés des algèbres ternaires illustrées par des exemples. Puis, nous avons porté notre intérêt sur les variétés algébriques des algèbres ternaires et établi des classifications à isomorphisme près en petites dimensions. Nous avons par ailleurs donné quelques classes d'algèbres ternaires Z3-graduées en dimension trois. Nous avons calculé les groupes des automorphismes des algèbres ternaires partiellement et totalement associatives. Nous avons étudié la cohomologie des algèbres ternaires partiellement associatives. L'objectif étant de décrire des cohomologies adaptées à la théorie des déformations formelles. Nous avons établi la 1-cohomologie et la 2-cohomologie et montrer l'impossibilité de les étendre, ce qui implique que l'opérade des algèbres ternaires partiellement associatives n'est pas de Koszul. Nous avons montré que le procédé de Takhtajan, qui permet de construire une cohomologie pour les algèbres de Nambu-Lie, n'est pas valable pour les algèbres de type associatif. Par ailleurs, pour les algèbres ternaires totalement associatives faibles, nous avons complété les deux premiers opérateurs cobords donnés par Takhtajan pour obtenir un complexe pour ces algèbres ternaires. Une théorie des déformations formelles et de dégénération a été développé dans cette thèse pour les algèbres ternaires de type associatif, et en particulier pour les algèbres ternaires partiellement associatives..The thesis is dedicated to ternary algebraic structures appearing more or less naturally in various domains of theoretical and mathematical physics and data processing. Indeed, theoretical physics progress of quantum mechanics and the discovery of the Nambu mechanics (1973), as well as a work of S. Okubo gave impulse to a significant development on ternary algebras. The cubic matrices illustrates ternary algebras, they were first introduced by Cayley in 1840, then found again and generalized by Kapranov, Gelfand and Zelevinskii in 1990. The ternary operation gives rise to partially associative, totally associative or Lie ternary algebras, one direction of my work is devoted to classification up to isomorphism of ternary algebras in small dimensions. We studied the cohomologies of ternary algebras of associative type. We build 1-cohomology and 2-cohomology of partially associative ternary algebras and shown that it is impossible to extend them to a general cohomology adapted to deformation theory. As a consequence the operad of partially associative ternary algebras is not Koszul. However, we studied Takhtajan's construction for ternary algebras of associative type. Also, we developed a deformation and degeneration theory according to Gerstenhaber approach for ternary algebras of associative type, in particular partially associative ternary algebras.
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